Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接D

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=15．（1）求证：AM?MB=EM?MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

（1）证明：连接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴

AM

CM

＝

EM

BM

，
∴AM?BM=EM?CM；

（2）解：∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=DC²，
∵DE=

15

，CD=8，且EC为正数，
∴EC=7，
∵M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∵AM?BM=EM?CM=EM（EC-EM）=EM（7-EM）=12，且EM＞MC，
∴EM=4；

（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵OE=4，EM=4，
∴OE=EM，
∴OF=FM=1，
∴EF=

42?12

＝

15

，
∴sin∠EOB=

15

4

．