已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos（α+β）．（1）求证：tanβ=tanα1+2tan2α；（2）当tanβ取最大
已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos（α+β）．（1）求证：tanβ=tanα1+2tan2α；（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．...
已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos（α+β）．（1）求证：tanβ=tanα1+2tan2α；（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．
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解答：证明：∵tanβ=
=
=
=sinαcosα-sin2αtanβ
∴（1+sin2α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=
=
＝
＝
（2）解：∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=
≤
当且仅当
＝2tanα，即tanα=
时，
tanβmax=
＝
∴tan（α+β）=
＝
×
＝
| sinβ |
| cosβ |
| sinαcos(α+β) |
| cosβ |
| sinα(cosαcosβ?sinαsinβ) |
| cosβ |
∴（1+sin2α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=
| sinαcosα |
| 1+sin2α |
| tanα | ||
|
| tanα | ||
|
| tanα |
| 1+2tan2α |
（2）解：∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=
| 1 | ||
|
| 1 | ||
2
|
当且仅当
| 1 |
| tanα |
| ||
| 2 |
tanβmax=
| ||||
1+2×
|
| ||
| 4 |
∴tan（α+β）=
| ||||||||
1?
|
3
| ||
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
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