Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为32．其中，正确的结论是______．

Answer 1

∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=

2

2

BC=

2

，CD=DE=

2

2

CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；
②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；
当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；
故②不完全正确；
④∵

CD

EC

=

AC

BC

＝

2

2

，∴

CD

AC

＝

CE

BC

；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=

2

，AD=1；
故S_梯形ABCD=

1

2

（1+2）×1=

3

2

，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．