Question

高等数学二重积分计算

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

积分区域 D 是由 x 轴与抛物线 y=4-x^2 在第二象限内的部分
及圆 x^2+y^2-4y=0，即 x^2+(y-2)^2=4 在第一象限内的部分所围成的区域。

则 ∫∫ f(x,y)dxdy
= ∫<-2,0>dx ∫<0,4-x^2> f(x,y)dy + ∫<0,2>dx ∫<-√(4-x^2),√(4-x^2)> f(x,y)dy
是将二重积分分成两部分，其中第二部分对 y 积分是
从下1/4圆弧 y=-√(4-x^2) 到上1/4圆弧 y=√(4-x^2)；

或 ∫∫ f(x,y)dxdy = ∫<0,4>dy ∫<-√(4-y),√(4y-y^2)> f(x,y)dx,
其中对 x 积分是从左半抛物线 x=-√(4-y) 到右半圆弧 x=√(4y-y^2).

Answer 3

设x=rcost y=rsint dxdy=rdrdt 1-(x^2+y^2)^(1/2)=1-r
在第一像限，由你画的图得：tE[0,pai/2] , rE[0, 2*1cost]即rE[0,2cost]
ff(1-r)rdrdt D为以上范围
=f f(-r^2+r)drdt
=f (-1/3r^3+1/2r^2) [0,2cost]dt
=f(-1/3cos^3t+1/2cos^2t)dt tE[0,pai/2]
以上不定积分：
=-1/3f(1-sin^2t)dsint+1/4f (cos2t+1)dt
=-1/3[sint-1/3sin^3t]+1/8fcos2td2t+t/4+c
=1/9sin^3t-1/3sint+1/8sin2t+t/4+c tE[0,pi/2]
原式=1/9-1/3+0+pai/8=pai/8-2/9
自已算一下！

Answer 4

追答

实质上难点在定积分的公式