Question

证明当p是奇素数时,有1^p+2^p+3^p+···+(p-1)^(p-1)与0模p同余

Answer 1

你题目打错了！是(p-1)^p，否则都没有规律了！

利用费马小定律。
因为p为素数，于是p与1、2、3、……、（p-1）都互素，
所以有a^(p-1) ≡1（mod p）

所以a^p ≡a（mod p）

于是
原式≡1+2+3+……+（p-1） （mod p）
≡p(p-1)/2 （mod p）（∵p为奇素数，因而p-1为偶数，能被2整除）
≡0 （mod p）

如果没有学过费马小定律，先了解一下剩余类，再百度一下“费马小定律”就好了。

追问

题目没错啊，55题，大神一定要帮我解决一下

追答

你题目里就是我那个嘛，你把最后一个指数打成p-1了！

那我这个回答就完全没问题了！

还是有一点小问题，不是费马小定律，是费马小定理！

Answer 2

2^p-2≡0(modp),2^p-1≡1(modp).设2^p-1=a*q,其中q是2^p-1的任一奇质数.则有q≡1(modp),从而a*q≡1(modp),2^p-1≡1(modp).又设q=np+1,假设n≠2m(其中n,m均是自然数),则q-1不能被2整除,则q是偶数.由2^p-1=a*q知不可能!因为1不能被2整除!这不可能.得n=2m,q=np+1,即q=2mp+1,