设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx
设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx．...
设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx．
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证明：
由积分中值定理，存在ξ∈[0，α]，使：
f(x)dx＝αf(ξ)；存在η∈[α，1]，使：
f(x)dx＝f(η)(1?α)，
因为：η≥α≥ξ，所以：f（η）≤f（ξ），
则：
α
f(x)dx＝α
f(x)dx+α
f(x)dx＝α2f(ξ)+αf(η)(1?α)≤α2f(ξ)+αf(ξ)(1?α)＝αf(ξ)＝
f(x)dx．
由积分中值定理，存在ξ∈[0，α]，使：
| ∫ | α 0 |
| ∫ | 1 α |
因为：η≥α≥ξ，所以：f（η）≤f（ξ），
则：
α
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | α 0 |
| ∫ | 1 α |
| ∫ | α 0 |
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