Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

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Answer 1

（1）见解析  （2）AC=CF﹣CD，理由见解析  （3）AC=CD﹣CF

试题分析：（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。 （2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可。 （3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可： ∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠DAB=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴CF=BD。∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC。 ∴AC、CF、CD之间存在的数量关系为AC=CD﹣CF。 解：（1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD。 ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。 ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴CF=BD。∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。 即①BD=CF，②AC=CF+CD。 （2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD。理由如下： 由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。 ∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD。 （3）补全图形如下： AC、CF、CD之间存在的数量关系为AC=CD﹣CF。