Question

设z是虚数， 是实数，且 .（1）求 的值及z的实部的取值范围

设z是虚数， 是实数，且 .（1）求 的值及z的实部的取值范围.（2）设 ，求 的最小值.

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Answer 1

（1） ， 的实部的取值范围是 ；（2）1.

试题分析：（1）设 且 ，则 ，由题意 是实数，故其虚部为0，即而 ，又由 是虚数，可得 ，从而可得 ，即 ，此时 ，由 ，可得 ； 由（1） 得： ， 因此 ，将 代入，可将原式化为： ，故可以用基本不等式求其最小值. （1）设 且 ，则 ∵ 是实数，∴ ，又 是虚数，∴ ，∴ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ ，即 ，故z的实部取值范围 ； ∵ ， ∵ ，∴ ， ， ，∴当 即 时， 的最小值为1．

Answer 2

（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则ω=z+ 1 z =a+bi+ 1 a+bi =a+bi+ a-bi a2+b2 =a+ a a2+b2 +(b- b a2+b2 )i
∵ω∈R∴b- b a2+b2 =0且b≠0得a2+b2=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴- 1 2 ＜a＜1即z的实部的取值范围为(- 1 2 ，1)．…（4分）
（2）u= 1-z 1+z = 1-(a+bi) 1+(a+bi) = [(1-a)-bi][(1+a)-bi] (1+a)2+b2 ．
∵a2+b2=1
∴u=- b 1+a i又b≠0，- 1 2 ＜a＜1故u是纯虚数．…（8分）
（3）ω-u2=2a+ b2 (1+a)2 =2a+ 1-a2 (1+a)2 =2a+ 1-a 1+a =2[(a+1)+ 1 a+1 ]-3
由a∈(- 1 2 ，1)知(a+1)+ 1 a+1 ≥2，
故当且仅当a+1= 1 a+1 ，a=0时ω-u2的最小值为1．…（14分）

虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。