Question

已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求 ＋ ＋ ；(2)若PQ过△ABO的重心G，且 ＝ a ， ＝ b ，

已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求 ＋ ＋ ；(2)若PQ过△ABO的重心G，且 ＝ a ， ＝ b ， ＝m a ， ＝n b ，求证： ＝3.





Answer 1

（1）0（2）见解析

(1)解：因为 ＋ ＝2 ，又2 ＝－ ，所以 ＋ ＋ ＝－ ＋ ＝0. (2)证明：因为 ＝ ( a ＋ b )，且G是△ABO的重心，所以 ＝ ＝ ( a ＋ b )．由P、G、Q三点共线，得 ∥ ，所以有且只有一个实数λ，使 ＝λ .又 ＝ － ＝ ( a ＋ b )－m a ＝ a ＋ b ， ＝ － ＝n b － ( a ＋ b )＝－ a ＋ b ，所以 a ＋ b ＝λ . 又 a 、 b 不共线，所以 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故 ＝3.