Question

设抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P 1 ，P 2 两点，已知|P 1 P 2

设抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P 1 ，P 2 两点，已知|P 1 P 2 |=8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点M（3，0）作方向向量为 d =(1，a) 的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由条件|P 1 P 2 |=8，可得2p=8，∴抛物线C的方程为y 2 =8x；…．（4分） （2）直线方程为y=a（x-3）代入y 2 =8x，∴ay 2 -8y-24a=0，…．（6分） △=64+96a 2 ＞0恒成立． 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 y 1 + y 2 = 8 a ， y 1 y 2 =-24 ，…．（7分） S △ = 1 2 |MF|?| y 1 - y 2 |= 2 4+6 a 2 |a| =2 6+ 4 a 2 ，…．（9分） ∴ S △ ∈(2 6 ，+∞) ．…．（10分） （3）设所作直线的方向向量为 d =(p，1) ，则直线方程为py=x-m代入y 2 =8x得y 2 -8py-8m=0， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），y 1 +y 2 =8p，y 1 y 2 =-8m．…．（12分） 又F（2，0），则 FA = ( x 1 -2， y 1 )， FB =( x 2 -2， y 2 ) ， ∵∠AFB为钝角，∴ FA ? FB ＜0 ，∴（x 1 -2）（x 2 -2）+y 1 y 2 ＜0，…．（14分） 即x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+4-8m＜0，∴ ( y 1 y 2 ) 2 64 -2[p( y 1 + y 2 )+2m]+4-8m＜0 ∴m 2 -12m+4＜16p 2 ，该不等式对任意实数p恒成立，…．（16分） 因此m 2 -12m+4＜0，∴ 6-4 2 ＜m＜6+4 2 ．…．（17分） 又m≠2，因此，当 m∈(6-4 2 ，2)∪(2，6+4 2 ) 时满足条件．…．（18分）