Question

已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R．（1）若f（x）在[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单

已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R．（1）若f（x）在[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

?1+

a

x2

＝

?x2+x+a

x2

；
若f（x）在[1，2]上单调递增，则：
-x²+x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥x²-x恒成立；
x2?x＝(x?

1

2

)2?

1

4

，∴x=2时，x²-x取最大值2；
∴a≥2；
（2）f′（x）=

?x2+x+a

x2

，△=1+4a≤0，即a≤?

1

4

时，-x²+x+a≤0，即f′（x）≤0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
△=1+4a＞0，即a＞?

1

4

时，方程-x²+x+a=0有两个实根x1＝

1? 1+4a

2

，x2＝

1+ 1+4a

2

；
①若1≤

1+4a

即a≥0时，x₁≤0，∴x∈（0，x₂）时，f′（x）＞0，x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，x₂）上单调递增，在[x₂，+∞）上单调递减；
②若1＞

1+4a

，即?

1

4

＜a＜0时，x∈（0，x₁），（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）时单调递减，在（x₁，x₂）上时单调递增．