Question

（2011?西宁）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求

（2011?西宁）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C（等边对等角），
∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABC=∠D（等量代换），
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

＝

AE

AB

，
∴AB²=AD?AE=（AE+ED）?AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2

3

．
（3）解：直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD＝

AB2+AD2

＝

(2 3 )2+(2+4)2

=4

3

BF=BO=

1

2

BD＝2

3

，
∵AB=2

3

，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴OA⊥AF，
∴直线FA与⊙O相切．