在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）...
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
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（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2-1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
当x=-1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2-1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF=yF-yP=（x+1）-（x2-1）=-x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=
PF（xF-xA）+
PF（xB-xF）=
PF（xB-xA）=
PF
∴S△ABP=
（-x2+x+2）=-
（x-
）2+
当x=
时，yP=x2-1=-
．
∴△ABP面积最大值为
，此时点P坐标为（
，-
）．
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（-
，0），F（0，1），OE=
，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=
=
．
令y=x2+（k-1）x-k=0，即（x+k）（x-1）=0，解得：x=-k或x=1．
∴C（-k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=
．
∴EN=OE-ON=
-
联立两个解析式，得：x2-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
当x=-1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2-1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF=yF-yP=（x+1）-（x2-1）=-x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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| 2 |
∴S△ABP=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 27 |
| 8 |
当x=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴△ABP面积最大值为
| 27 |
| 8 |
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| 2 |
| 3 |
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（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（-
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=
(
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| ||
| k |
令y=x2+（k-1）x-k=0，即（x+k）（x-1）=0，解得：x=-k或x=1．
∴C（-k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=
| k |
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∴EN=OE-ON=
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| k |
