Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，对x1、x2∈[-1，1]，且x1+x2≠0时，有f(x1)+f(x2)x1+x2

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，对x1、x2∈[-1，1]，且x1+x2≠0时，有f(x1)+f(x2)x1+x2＞0，若f（x）≤m2-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，
即

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

＞0，∴

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞0
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x）是[-1，1]上的增函数，
要使f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²-2am+1，即1≤m²-2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=-2ma+m²，
只须

g(?1)＝2m+m2≥0 g(1)＝?2m+m2≥0

，解得m≤-2或m≥2或m=0，
故答案为m≤-2或m≥2或m=0．