已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若m为整数
已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若m为整数,且抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴...
已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若m为整数,且抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴两交点间的距离为2,求抛物线的解析式;(3)若直线y=x+b与(2)中的抛物线没有交点,求b的取值范围.
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(1)证明:分两种情况讨论.
①当m=0时,方程为x-2=0,∴x=2,方程有实数根;
②当m≠0,则一元二次方程的根的判别式△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=(m+1)2
∴不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根;
综合①、②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.
(2)解:设x1,x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.
令y=0,则mx2-(3m-1)x+2m-2=0
由求根公式得,x1=2,x2=
,
∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点(2,0).
∵|x1-x2|=2,
∴|2-x2|=2,
∴x2=0或x2=4,∴m=1或m=?
(不合题意舍去),
当m=1时,y=x2-2x,
把(2,0)代入,左边=右边,
m=1符合题意,
∴抛物线解析式为y=x2-2x
答:抛物线解析式为y=x2-2x;
(3)解:①由
,
得x2-3x-b=0,
∴△=9+4b,
∵直线y=x+b与抛物线y=x2-2x没有交点,
∴△=9+4b<0,
∴b<?
∴当b<?
,直线y=x+b与(2)中的抛物线没有交点.
∴b的取值范围是b<-
.
①当m=0时,方程为x-2=0,∴x=2,方程有实数根;
②当m≠0,则一元二次方程的根的判别式△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=(m+1)2
∴不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根;
综合①、②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.
(2)解:设x1,x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.
令y=0,则mx2-(3m-1)x+2m-2=0
由求根公式得,x1=2,x2=
m?1 |
m |
∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点(2,0).
∵|x1-x2|=2,
∴|2-x2|=2,
∴x2=0或x2=4,∴m=1或m=?
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当m=1时,y=x2-2x,
把(2,0)代入,左边=右边,
m=1符合题意,
∴抛物线解析式为y=x2-2x
答:抛物线解析式为y=x2-2x;
(3)解:①由
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得x2-3x-b=0,
∴△=9+4b,
∵直线y=x+b与抛物线y=x2-2x没有交点,
∴△=9+4b<0,
∴b<?
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∴当b<?
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∴b的取值范围是b<-
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