如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．（1）猜想...
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，①当BD＜1时求BD的长．②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．
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解：（1）猜想：CF=BD，CF⊥BD，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD与△ACF中，
|
∴△ABD≌△ACF （SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD；
（2）∵AE是正方形ADEF的对角线，
∴∠FAE=∠DAE=45°
在△AFG与△ADG中，
|
∴△AFG≌△ADG（SAS），
∴FG=DG，
由（1）知，∠GCF=90°，若Rt△FCG是等腰三角形，则CG=CF，
设CF=x，得CG=CF=BD=x
①当BD＜1时，如图1，FG=DG=2-2x
在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2
∴（2-2x）2=2x2，
解得：x1=2+
| 2 |
| 2 |
∴BD=2-
| 2 |
②当BD＞1时，如图2
∵CG=CF=BD，∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2，
∴22=2x2，
解得x1=-
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