Question

（2012?台州一模）如图，设经过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点．（Ⅰ）若直线l的倾斜

（2012?台州一模）如图，设经过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为π4，求线段AB中点的坐标；（Ⅱ）已知以线段AB为直径的圆始终与定圆(x?32)2+y2＝r2(r＞0)内切，求实数r的值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得直线l为y=x-1，…（1分）
代入抛物线C方程得y²-4y-4=0．…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点D的坐标为（x₀，y₀），
因为△=32＞0，则y0＝

y1+y2

2

＝2，x₀=y₀+1=3，…（4分）
所以线段AB的中点D的坐标为（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）设直线l方程为x=ty+1，…（6分）
代入抛物线C方程得y²-4ty-4=0，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点D的坐标为（x₀，y₀），
因为△=16t²+16＞0，所以

y1+y2＝4t y1y2＝?4

．…（8分）
所以y0＝

y1+y2

2

＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，
所以线段AB的中点D的坐标为（2t²+1，2t）．…（10分）
以线段AB为直径的圆的半径为r1＝

|AB|

2

＝

|FA|+|FB|

2

＝

t(y1+y2)+4

2

＝2t2+2，
记圆(x?

3

2

)2+y2＝r2的圆心为E(

3

2

，0)，
则|DE|＝

(2t2? 1 2 )2+4t2

＝2t2+

1

2

，
所以|r1?r|＝|2t2+2?r|＝|DE|＝2t2+

1

2

，…（12分）
进而2?r＝

1

2

或r＝4t2?

3

2

（不为常数），…（13分）
所以r＝

3

2

．…（14分）