Question

如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=

如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A______，k=4t（k＞0）4t（k＞0）；（2）随着三角板的滑动，当a=14时：①请你验证：抛物线y1=ax（x-t）的顶点在函数y=?14x2的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2-y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2-y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

Answer 1

解答：解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，
∴点A的坐标是（t，4）．
又∵直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0），
∴4=kt，则k=

4

t

（k＞0）．

（2）①当a=

1

4

时，y₁=

1

4

x（x-t），其顶点坐标为（

t

2

，-

t2

16

）．
对于y=?

1

4

x2来说，当x=

t

2

时，y=?

1

4

×

t2

4

=-

t2

16

，即点（

t

2

，-

t2

16

）在抛物线y=?

1

4

x2上．
故当a=

1

4

时，抛物线y₁=ax（x-t）的顶点在函数y=?

1

4

x2的图象上；

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK=

1

2

AC=2，CK=

1

2

BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵点E在抛物线y₁=

1

4

x（x-t）上，
∴

1

4

（t+2）（t+2-t）=2，
解得t=2．

（3）如图2，

y＝ 4 t x y＝ax(x?t)

，则

4

t

x=ax（x-t），
解得x=

4

at

+t，或x=0（不合题意，舍去）．
故点D的横坐标是

4

at

+t．
当x=

4

at

+t时，|y₂-y₁|=0，由题意得t+4=

4

at

+t，
解得a=

1

t

（t＞4）．