Question

若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是(?∞，1e2](?∞，1e2]

若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是(?∞，1e2](?∞，1e2]．

Answer 1

设f（x）=lnx-kx-1
则f′（x）=

1

x

-k=

1?kx

x

  （x＞0）
若k≤0，则f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，∵x→0时，f（x）→-∞，∴f（x）有且只有一个零点，即此时方程kx+1=lnx有解
若k＞0，则f（x）在（0，

1

k

）上为增函数，在（

1

k

，+∞）上为减函数
要使函数f（x）有零点，需f（

1

k

）≥0
即-lnk-2≥0
解得：k≤

1

e2

∴0＜k≤

1

e2

时，f（x）有零点，即此时方程kx+1=lnx有解
综上所述：k≤

1

e2

故答案为 （-∞，

1

e2

]

Answer 2

答案为： （-∞,1/e2]。
解：设f（x）=lnx-kx-1 , (x>0)
则f′（x）=1/x-k=(1-kx) /x , （x＞0）
若k≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∵f(e)=-ke<0
∴f（x）有且只有一个零点，即此时方程kx+1=lnx有一解
若k＞0，则f（x）在（0，1/k）上为增函数，在（1 k,+∞)上为减函数
要使函数f（x）有零点，需f（1/ k）≥0,
即-lnk-2≥0
解得：k≤1/e2
∴0＜k≤1/e2 时，f（x）有零点，即此时方程kx+1=lnx有解
综上所述：k≤1/e2
故答案为 （-∞,1/e2]。