Question

八年级数学题 矩形的判定

（2011 烟台）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠D=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²。
（1）求证：AB=BC
（2）当BE⊥AD与E时，试证明BE=AE+CD

我数学不好啊，过程尽量写详细一点。

Answer 1

证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
∴AB=BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴
∠AEB=∠BFC
∠BAE=∠CBF
AB=BC
，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．

Answer 2

（1）
∵∠ADC=90°
∴AD²+CD²=AC²
∵AD²+CD²=2AB²
∴AC²=2AB²
∴AC=√2AB
∵∠ABC=90°
∴三角形ABC是一等腰直角三角形
∴AB=BC
（2）
延长DC与过B点AD的平行线交与F
则四边形BEDF为一矩形
∴∠AEB=∠BFC=90°、BE=DF、BE=DF
又∵AB=BC
∴三角形ABE与三角形CBF相等
∴AE=CF
∴BE=DF=CD+CF=CD+AE

Answer 3

解：连接AC
由已知 AD²+CD²=2AB²
∵在△ADC中，AD²+CD²=AC²
又∵AB⊥BC 得出AB²+BC²=AC²
∴AB²+BC²=2AB²
∴BC²=AB²
∴AB=BC

Answer 4

连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
∴AB=BC．