Question

已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AC⊥BD,且梯形ABCD的面积为100cm2.求这个梯形的高

请带图答题

Answer 1

解：作这个梯形的高DH，再过点D作DE//AC交BC延长线于点E。
因为 AC垂直于BD，DE//AC，
所以 DE垂直于BD，三角形BED是直角三角形，BE为斜边，
因为 等腰梯形ABCD中，AD//BC，
所以 AC=BD，（等腰梯形对角线相等）
AC=DE，AD=CE，（夹在平行线间的平行线段相等）
所以 BD=DE，三角形BED又是等腰三角形，
因为 DH是高，
所以 DH也是BE边上的中线，DH=BE/2=（AD+BC）/2
因为 梯形的面积=100平方厘米，
所以 DH（AD+BC）/2=100，
即： DH平方=100，DH=10，
所以 这个梯形的高为10厘。

追问

即： DH平方=100，DH=10，为什么

Answer 2

用等腰三角形常见的辅助线解法：过点D作DE//AC,由AD‖BC得到四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形性质可知，对角线AC=BD，且AC*BD/2=100，可以求得AC^2=BD*2=200.ADCE是平行四边形有BD=DE=AC，三角形BDE为等腰直角三角形，过点D 作DF垂直于BE，易得三角形BDF也为等腰直角三角形，由DF^2+BF^2=BD^2=200即2BF^2=200,则BF^2=100，所以BF=10 求得等腰梯形ABCD的高为10

Answer 3

作DE平行AC与BC的延长线交于点E,过D作DF垂直BC于F
所以DF是梯形的高
因为ABCD是等腰梯形
所以AC=BD
AD平行BC
所以四边形ACDE是平行四边形
所以AC平行DE
所以角BDE=角BOC
因为AC垂直BD，设垂足为O
所以角BOC=90度
所以角BDE=90度
所以三角形BDE是等腰直角三角形
所以角DBF=45度
所以角DBF=角FDB=45度
因为角DFB=90度
所以BD=根号2*DF
三角形DCE的面积=三角形ADC的面积
三角形ABD的面积=三角形ADC的面积
所以三角形ABD的面积=三角形DCE的面积
因为梯形的面积=三角形ABD的面积+三角形BDC的面积
因为三角形BDE的面积=三角形BDC的面积=三角形DCE的面积=1/2AC*BD
因为梯形的面积=100cm^2
所以：1/2*根号2*DF*根号2*DF=100
所以：DF=10cm

追问

你的方法真累人

追答

方法简单，过程需详细就只有这样
方法是梯形的面积等于等于梯形两对角线的乘积乘以两对角线的夹角的正弦的积的一半=1/2AC*BD
等腰梯形的对角线=根号2乘以梯形的高

追问

好吧。。。我想说初二好像还没学正弦呢

追答

初二没学就用三角形的面积也可证得等腰梯形的面积近等于两对角线的乘积的一半