Question

如图，在梯形ABCD中，AB ∥ DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形

如图，在梯形ABCD中，AB ∥ DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M， 则四边形ABCM是矩形， 则AM=BC=2，MC=AB=1， 又∵tan∠ADC=2， ∴DM= 2 2 =1， ∴DC=DM+MC=2， ∴DC=BC； （2）△ECF是等腰直角三角形．理由如下： ∵在△DEC和△BFC中， DE=BF ∠EDC=∠FBC DC=BC ， ∴△DEC≌△BFC（SAS）， ∴CE=CF，∠ECD=∠BCF， ∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°， 即△ECF为等腰直角三角形．