Question

已知关于x的一元二次方程 1 4 x 2 -2x+a（x+a）=0的两个实数根为x 1 ，x 2 ，若y=x 1 +x 2 +

已知关于x的一元二次方程 1 4 x 2 -2x+a（x+a）=0的两个实数根为x 1 ，x 2 ，若y=x 1 +x 2 + 1 2 x 1 - x 2 ．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a≤-2时，比较y与-a 2 +6a-4的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）由 1 4 x 2 -2x+a（x+a）=0得， 1 4 x 2 +（a-2）x+a 2 =0 △=（a-2） 2 -4× 1 4 ×a 2 =-4a+4 ∵方程有两个实数根， ∴-4a+4≥0． ∴a≤1 ∵a≥0 ∴0≤a≤1 ∴y=x 1 +x 2 + 1 2 x 1 ? x 2 =-4a+8+a =-3a+8 ∵-3≤0， ∴y随a的增大而减小 当a=0时，y=8；a=1时，y=5 ∴5≤y≤8． （2）由（1）得a≤1，又a≤-2， ∴a≤-2 ∴y=x 1 +x 2 + 1 2 x 1 ? x 2 =-4a+8-a =-5a+8 当a=-2时，y=18； ∵-3≤0 ∴y随a的增大而减小． ∴当a≤-2时，y≥18 又∵-a 2 +6a-4=-（a-3） 2 +5≤5 而18＞5 ∴当a≤-2时，y＞-a 2 +6a-4