Question

如图所示，已知抛物线y=x 2 -1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A

如图所示，已知抛物线y=x 2 -1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作AP ∥ CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0， 得x 2 -1=0 解得x=±1， 令x=0，得y=-1 ∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2分） （2）∵OA=OB=OC=1， ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°． ∵AP ∥ CB， ∴∠PAB=45°． 过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形， 令OE=a，则PE=a+1， ∴P（a，a+1）． ∵点P在抛物线y=x 2 -1上， ∴a+1=a 2 -1． 解得a 1 =2，a 2 =-1（不合题意，舍去）． ∴PE=3（4分）． ∴四边形ACBP的面积S= 1 2 AB?OC+ 1 2 AB?PE = 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×3=4；（6分） （3）假设存在 ∵∠PAB=∠BAC=45°， ∴PA⊥AC ∵MG⊥x轴于点G， ∴∠MGA=∠PAC=90° 在Rt△AOC中，OA=OC=1， ∴AC= 2 在Rt△PAE中，AE=PE=3， ∴AP=3 2 （7分） 设M点的横坐标为m，则M（m，m 2 -1） ①点M在y轴左侧时，则m＜-1． （ⅰ）当△AMG ∽ △PCA时，有 AG PA = MG CA ． ∵AG=-m-1，MG=m 2 -1． 即 -m-1 3 2 = m 2 -1 2 解得m 1 =-1（舍去）m 2 = 2 3 （舍去）． （ⅱ）当△MAG ∽ △PCA时有 AG CA = MG PA ， 即 -m-1 2 = m 2 -1 3 2 ． 解得：m=-1（舍去）m 2 =-2． ∴M（-2，3）（10分）． ②点M在y轴右侧时，则m＞1 （ⅰ）当△AMG ∽ △PCA时有 AG PA = MG CA ∵AG=m+1，MG=m 2 -1 ∴ m+1 3 2 = m 2 -1 2 解得m 1 =-1（舍去）m 2 = 4 3 ． ∴M（ 4 3 ， 7 9 ）． （ⅱ）当△MAG ∽ △PCA时有 AG CA = MG PA ， 即 m+1 2 = m 2 -1 3 2 ． 解得：m 1 =-1（舍去）m 2 =4， ∴M（4，15）． ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似 M点的坐标为（-2，3），（ 4 3 ， 7 9 ），（4，15）．（13分）