Question

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F. (1)求证：OE＝OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

见解析

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE ∴∠MEA＝∠AFO， ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE＝OF (2)OE＝OF成立 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA. 又∵AM⊥BE， ∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE 又∵∠MBF＝∠OBE ∴∠F＝∠E. ∴Rt△BOE≌Rt△AOF. ∴OE＝OF.