已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA,PB,PC. (1)如图甲,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△

已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA,PB,PC.(1)如图甲,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△的位置.①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△P... 已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA,PB,PC. (1)如图甲,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△ 的位置.①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△ 的过程中边PA所扫过区域 (图甲中阴影部分)的面积;②若PA=3,PB=6,∠APB=135°,求PC的长.(2)如图乙,若PA 2 +PC 2 =2PB 2 ,请说明点P必在对角线AC上. 展开
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hiriqui
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(1)① ②6;(2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠ =90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上.


试题分析:(1)①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差,且这两个扇形的圆心角同为90度;
②连接PP′,证△PBP′为等腰直角三角形,从而可在Rt△PP′C中,用勾股定理求得PC=6;
(2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠ =90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上.

②连接PP′

根据旋转的性质可知:
BP=BP′,∠PBP′=90°;
即:△PBP′为等腰直角三角形,
∴∠BPP′=45°,
∵∠BPA=∠BP′C=135°,∠BP′P=45°,
∴∠BPA+∠BPP′=180°,
即A、P、P′共线,
∴∠PP′C=135°-45°=90°;
在Rt△PP′C中,PP′=4 ,P′C=PA=2,根据勾股定理可得PC=6.
(2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,连接PP′.

同(1)①可知:△BPP′是等腰直角三角形,即PP′ 2 =2PB 2
∵PA 2 +PC 2 =2PB 2 =PP′ 2
∴PC 2 +P′C 2 =PP′ 2
∴∠P′CP=90°;
∵∠PBP′=∠PCP′=90°,在四边形BPCP′中,∠BP′C+∠BPC=180°;
∵∠BPA=∠BP′C,
∴∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上.
点评:本题知识点多,综合性强,是中考常见题,需要学生熟练掌握平面图形的基本概念,难度较大.
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