Question

已知：如图，点P是正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC． （1）如图甲，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△

已知：如图，点P是正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC． （1）如图甲，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△ 的位置．①设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△ 的过程中边PA所扫过区域 （图甲中阴影部分）的面积；②若PA＝3，PB＝6，∠APB＝135°，求PC的长．（2）如图乙，若PA 2 ＋PC 2 ＝2PB 2 ，请说明点P必在对角线AC上．

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Answer 1

（1）① ②6；（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠ ＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．

试题分析：（1）①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度； ②连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6； （2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠ ＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上． ②连接PP′ 根据旋转的性质可知： BP=BP′，∠PBP′=90°； 即：△PBP′为等腰直角三角形， ∴∠BPP′=45°， ∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°， ∴∠BPA+∠BPP′=180°， 即A、P、P′共线， ∴∠PP′C=135°-45°=90°； 在Rt△PP′C中，PP′=4 ，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6． （2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′． 同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′ 2 =2PB 2 ； ∵PA 2 +PC 2 =2PB 2 =PP′ 2 ， ∴PC 2 +P′C 2 =PP′ 2 ， ∴∠P′CP=90°； ∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°； ∵∠BPA=∠BP′C， ∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上． 点评：本题知识点多，综合性强，是中考常见题，需要学生熟练掌握平面图形的基本概念，难度较大.