Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=can+（2n+1）cn+1（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}

在数列{an}中，a1=1，an+1=can+（2n+1）cn+1（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）由a1＝1，  an+1＝c an+(2n+1) cn+1   ?a2＝ca1+3c2＝3c2+c，a3＝ca2+5c3＝8c3+c2，  a4＝ca3+7c4＝15c4+c3；
（2）猜想：an＝(n2?1)cn+cn?1；
①当n=1时，a1＝1＝(12?1)c1+c1?1，猜想成立；
②假设n=k时，猜想成立，即：ak＝(k2?1)ck+ck?1，
则n=k+1时，ak+1＝cak+(2k+1)ck+1＝c[(k2?1)ck+ck?1]+(2k+1)ck+1
=（k²-1+2k+1）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^（k+1）-1
猜想成立．
综合①②可得对n∈N^*，an＝(n2?1)cn+cn?1成立．