Question

已知函数f（x）=x-ax 2 -lnx（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，求a的值

已知函数f（x）=x-ax 2 -lnx（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，求a的值以及切线方程；（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=1-2ax- 1 x ．…（2分） 由题设，f′（1）=-2a=-2，a=1， 此时f（1）=0，切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0．…（5分） （2）f′（x）=- 2a x 2 -x+1 x ， 令△=1-8a． 当a≥ 1 8 时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（10分） 当0＜a＜ 1 8 时，△＞0，方程2ax 2 -x+1=0有两个不相等的正根x 1 ，x 2 ， 不妨设x 1 ＜x 2 ， 则当x∈（0，x 1 ）∪（x 2 ，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（x 1 ，x 2 ）时，f′（x）＞0， 这时f（x）不是单调函数． 综上，a的取值范围是[ 1 8 ，+∞）．…（12分）