Question

过抛物线y 2 =2px(p＞0)上一定点P(x 0 ,y 0 )(y 0 ＞0)作两条直线分别交抛物线于A（x 1 ,y 1 ）、B(x 2 ,

过抛物线y 2 =2px(p＞0)上一定点P(x 0 ,y 0 )(y 0 ＞0)作两条直线分别交抛物线于A（x 1 ,y 1 ）、B(x 2 ,y 2 ).(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

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Answer 1

(1)点M( , )到F的距离为 -(- )= . (2)证明见解析

（1）当y= 时，x= . 又抛物线y 2 =2px(p>0)的准线方程为x=- , 则点M( , )到F的距离为 -(- )= . (2)设直线PA的斜率为k PA ,直线PB的斜率为k PB . 由 y 1 2 -y 0 2 =2p(x 1 -x 0 ), 则k PA = (x 1 ≠x 0 ). 同理,得k PB = (x 2 ≠x 0 ). 由PA、PB的倾斜角互补知k PA =-k PB , 即 =- , 即y 1 +y 2 =-2y 0 ,故 =-2. 设直线AB的斜率为k AB . 由 y 1 2 -y 2 2 =2p(x 1 -x 2 ), ∴k AB = (x 1 ≠x 2 ). 将y 1 +y 2 =-2y 0 (y 0 ＞0)代入上式得 k AB = .(P(x 0 ,y 0 )为一定点,y 0 >0) 则k AB =- 为非零常数.