Question

阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：x+y＝72xy＝3，消去y化简得：2x2-7x+6=0，∵△=49-48＞0，∴x1=______，x2=______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

Answer 1

（1）由上可知
（x-2）（2x-3）=0
∴x₁=2，x₂=

3

2

；

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得

x+y＝ 3 2 xy＝1

消去y化简，得
2x²-3x+2=0
∵△=9-16＜0
∴不存在矩形B；

（3）（m+n）²-8mn≥0．
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得

x+y＝ m+n 2 xy＝ mn 2

消去y化简，得
2x²-（m+n）x+mn=0
△=（m+n）²-8mn≥0
即（m+n）²-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．