（2014?襄州区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF
（2014?襄州区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边...
（2014?襄州区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．（1）求证：∠GCF=∠FCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形？若存在，求出BM的长度；若不存在，说明理由．
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（1）证明：如图，
过点F作FH⊥BE于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=90°
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH=90°
∴∠FPH=∠BAP
在△BAP和△HPF中，∠ABP=∠PHF
在△BAP和△HPF中，
，
∴△BAP≌△HPF（AAS）
∴PH=AB，BP=FH
∴PH=BC
∴BP+PC=PC+CH
∴CH=BP=FH …
而∠FHC=90°．
∴∠FCH=CFH=45°
∴∠DCF=90°-45°=45°
∴∠GCF=∠FCE；
（2）PG=PB+DG
证明：如图，
延长PB至K，使BK=DG，连接AK，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABK=ADG=90°
在△ABK和△ADG中，
，
∴△ABK≌△ADG（SAS）
∴AK=AG，∠KAB=∠GAD，
而∠APF=90°，AP=PF
∴∠PAF=∠PFA=45°
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45°=∠PAF
在△KAP和△GAP中，
，
∴△KAP≌△GAP（SAS）
∴KP=PG，
∴KB+BP=DG+BP=PG
即，PG=PB+DG；
（3）存在．
如图，
在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，
则MD∥PF，且MD=FP
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM=90°
在Rt△ABP和Rt△DAM中
过点F作FH⊥BE于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=90°
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH=90°
∴∠FPH=∠BAP
在△BAP和△HPF中，∠ABP=∠PHF
在△BAP和△HPF中，
|
∴△BAP≌△HPF（AAS）
∴PH=AB，BP=FH
∴PH=BC
∴BP+PC=PC+CH
∴CH=BP=FH …
而∠FHC=90°．
∴∠FCH=CFH=45°
∴∠DCF=90°-45°=45°
∴∠GCF=∠FCE；
（2）PG=PB+DG
证明：如图，
延长PB至K，使BK=DG，连接AK，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABK=ADG=90°
在△ABK和△ADG中，
|
∴△ABK≌△ADG（SAS）
∴AK=AG，∠KAB=∠GAD，
而∠APF=90°，AP=PF
∴∠PAF=∠PFA=45°
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45°=∠PAF
在△KAP和△GAP中，
|
∴△KAP≌△GAP（SAS）
∴KP=PG，
∴KB+BP=DG+BP=PG
即，PG=PB+DG；
（3）存在．
如图，
在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，
则MD∥PF，且MD=FP
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM=90°
在Rt△ABP和Rt△DAM中
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