Question

设数列{an}的前n项和为Sn=n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（1）求数列{an}和{bn}的通项公

设数列{an}的前n项和为Sn=n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=1anan+1，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝n2?(n?1)2＝2n?1，
故{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，即{a_n}是a₁=1，公差d=2的等差数列．
设{b_n}的公比为q，则b₁=a₁=1，又b₂（a₂-a₁）=b₁，
∴b2＝

1

2

∴q＝

1

2

，
故bn＝b1qn?1＝1×

1

2n?1

，即{bn}的通项公式为bn＝

1

2n?1

．
（2）∵a_n=2n-1，
∴cn＝

1

anan+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

[

1

2n?1

?

1

2n+1

]，
Tn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]
=

1

2

(1?

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．