Question

三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=6，若球的表面积为48π

三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=6，若球的表面积为48π，则该三棱锥的体积为______．

Answer 1

解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
∵球的表面积为48π，
∴OA=2

3

，
∵PA=6，
∴OE=3，
∴AE=

3

，
∵△ABC是正三角形，∴AB=3，
∴该三棱锥的体积为

1

3

?

3

4

?32?6=

9 3

2

．
故答案为：

9 3

2

．