Question

计算∫∫∫zdv,其中由不等式x^2+y^2+(z-a)^2<=a,x^2+y^2<=z^2所确定的区域 求三重积分怎麼算

用球面坐标系算

Answer 1

积分定性 ： 0≤ θ≤ 2π， 0≤ ω≤ π/4， 0≤ r≤ 2acosω
∫∫∫zdv=∫（0,2π）dθ ∫ (0,π/4) dω ∫(0,2acosω ) r²sinω·rcosω dr =7πa⁴/6

追问

r为什么是0到2acosw呢？

追答

这个r是代表的径向距离。通俗的说，三维空间一个点 是由 θ，ω， r 唯一确定的。这里不止一个点，而是被锥面分割出来的“且经过坐标原点”的一部分实心球体。你可以将这个实心球体看成是无数点的集合。那么积分的时候当然就要从“原点到这个球面”进行。也就是 0≤ r≤ 2acosω，因为这样在一条直线上就囊括了所有这些点。，再联合 0≤ θ≤ 2π， 0≤ ω≤ π/4，0≤ r≤ 2acosω一起就囊括了这个区域所有的点。不知道你懂了没有？
书本中关于球坐标的推导和定义不是弄一个球体，而是弄一个点进行解释的。你要知道，球体也是无数点的集合。注意是实心的。