Question

a>0,b>0,n》0,且n是正整数，证明a^n+b^n》a^(n-1)b+ab^(n-1)

Answer 1

a^n+b^n-[a^(n-1)b+ab^(n-1)]
=a^n-a^(n-1)b+b^n-ab^(n-1)
=(a-b)a^(n-1)-(a-b)b^(n-1)
=(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]

当a>b时，可得：a-b>0, a^(n-1)-b^(n-1)≥0
所以(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]≥0,即a^n+b^n》a^(n-1)b+ab^(n-1)

当a=b时，(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]=0，
a^n+b^n=a^(n-1)b+ab^(n-1)

当a<b时可得：a-b<0, a^(n-1)-b^(n-1)≤0
所以(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]≥0,即a^n+b^n》a^(n-1)b+ab^(n-1)

综上可得：
a^n+b^n》a^(n-1)b+ab^(n-1)

√希望你能看懂，你能明白， 望采纳，赞同