Question

已知线性方程组 λx1+x2+x3=1 x1+ λx2+x3= λ x1+x2+ λx3= λ^2，求 λ何值

方程组无解，有唯一解，无数解。有无数解

Answer 1

系数矩阵的行列式
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
= (λ+2)(λ-1)^2.

当 λ≠1 且 λ≠-2 时, 由Crammer法则知方程组有唯一解.

当λ=1时, 增广矩阵为
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
->
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

r(A)=r(A,b)=1<3, 方程组有无穷多解
通解为: (1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'

当λ=-2时, 增广矩阵为
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
1 1 -2 4

r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
0 0 0 3

r(A)=2, r(A,b)=3, 此时方程组无解.

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示