Question

如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC边上的任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

求证：AE=EF

Answer 1

过点F做FG⊥BC于H CFH等腰直角三角形
AE⊥EF
∴∠BAE＝∠FEC
ΔABE∽ΔEHF
AB／BE＝EH／FH
即(BE+EC)／(BE)＝(EC+CH)／CH
1+(EC)／(BE)＝1+(EC)／CH即(EC)／(BE)＝(EC)／CH所以BE=CH=FH
所以ΔABE≌ΔEHF
AE=EF

Answer 2

过点F做FG⊥BC于H
AE⊥EF
∴∠BAE＝∠FEC
ΔABE∽ΔEHF
AB／BE＝EH／FH
设AB＝a，BE＝x，FH＝y
则EH＝a－x＋y
即a／x＝（a－x＋y）／y
有a（y－x）＝x（y－x）
∴y＝x或a＝x（特殊情况）
∴AB＝EH，ΔABE≌ΔEHF
∴AE=EF