Question

已知函数f（x）=lnx+ 1 x +ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．（1）当a=0时，求f（x）的最小

已知函数f（x）=lnx+ 1 x +ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（3）设各项为正的无穷数列{x n }满足lnx n + 1 x n+1 ＜1（n∈N * ），证明：x n ≤1（n∈N * ）．

Answer 1

解（1）a=0时，f′（x）= x-1 x 2 当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0， ∴f（x） min =1 （2）f′（x）= 1 x - 1 x 2 +a= a x 2 +x-1 x 2 当a≥0时，ax 2 +x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求； 当a＜0时，令g（x）=ax 2 +x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零 故△=1+4a≤0或 1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2 ，解得：a≤ - 1 4 ∴a的取值范围是（-∞， - 1 4 ]∪[0，+∞） （3）反证法：假设x 1 =b＞1，由（1）知， ∴ln x n b + b x n ≥1＞lnx n + 1 x n+1 ，∴ b x n ＞lnb+ 1 x n+1 ，（n∈N * ）， ∴故 1= b x 1 ＞lnb+ 1 x 2 ＞ lnb+  1 b (lnb+ 1 x 3 )…＞(1+ 1 b + 1 b 2 +…)lnb = 1 1- 1 b lnb ，即 1 1- 1 b lnb ＜1，即lnb＜ 1- 1 b ，① 又由（1）当b＞1时， lnb+ 1 b ＞1 ∴ lnb＞1- 1 b ＞1 ，与①矛盾，故b≤1，即x 1 ≤1， 同理可证x 2 ≤1，x 3 ≤1，…，x n ≤1（n∈N * ）