已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）在x=2处取得极值，求满足条件的a的值；（Ⅱ）当
已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）在x=2处取得极值，求满足条件的a的值；（Ⅱ）当a＞?12时，f（x）在（1，2）上单调递减，求...
已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．（Ⅰ）若函数y=f（x）在x=2处取得极值，求满足条件的a的值；（Ⅱ）当a＞ ?12时，f（x）在（1，2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）在(1e，e)内有且只有两个零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
展开
1个回答
展开全部
（Ⅰ）f′(x)＝2ax+1?2a?
=
有已知得f′(2)＝0即
＝0
∴a＝?
经检验a＝?
符合题意
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝2ax+1?2a?
=
当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意
当?
＜a＜0时，f（x）在（1，2）上单调递减，
令t=2ax+1，
则有t=2ax+1≤0在（1，2）恒成立，
有4a+1≤0，即a≤-
，
综合可得a的取值范围是（-
，-
]；
（Ⅲ）令f′（x）=0
∵a＞0解得x＝1或x＝?
(舍)
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（
，e）内有且仅有两个零点，只需
即
| 1 |
| x |
| (2ax+1)(x?1) |
| x |
有已知得f′(2)＝0即
| (4a+1)(2?1) |
| 2 |
∴a＝?
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝2ax+1?2a?
| 1 |
| x |
| (2ax+1)(x?1) |
| x |
当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意
当?
| 1 |
| 2 |
令t=2ax+1，
则有t=2ax+1≤0在（1，2）恒成立，
有4a+1≤0，即a≤-
| 1 |
| 4 |
综合可得a的取值范围是（-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）令f′（x）=0
∵a＞0解得x＝1或x＝?
| 1 |
| 2a |
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（
| 1 |
| e |
|
|
