Question

（2009?惠州模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所

（2009?惠州模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，
且两平面交线为BC，
∴AE⊥侧面BB₁C₁C．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，tan45°＝

AE

ED

＝

3

1+ x2 4

，解得x＝2

2

．
∴此正三棱柱的侧棱长为2

2

．
（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．
∵AE⊥侧面BB₁C₁C，∴EF是AF在平面BCD内的射影．
由三垂线定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
sin∠EBF＝

CD

BD

＝

2

22+( 2 )2

＝

3

3

，
∴EF＝

3

3

．
又AE＝

3

，
∴在Rt△AEF中，tan∠AFE＝

AE

EF

＝3．
故二面角A-BD-C的大小为arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，
过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在Rt△AEF中，EG＝

AE×EF

AF

＝

3 × 3 3

( 3 )2+( 3 3 )2

＝

30

10

．
∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为2EG＝

30

5

．