Question

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．（Ⅰ）

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．（Ⅰ）求椭圆形的方程；（Ⅱ）过F1点作相互垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于p1，p2，p3，p4试探究1|p1p2|+1|p3p4|是否为定值？并求当圆边形p1，p2，p3，p4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由焦点F₂的坐标为（1，0）知a²-b²=1，①
再由

12

a2

+

y2

b2

=1，整理得y=±

b2

a

．
∵过F₂垂直于长轴的弦长|AB|=3，
∴

2b2

a

=3．②
联立①、②可解得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（Ⅱ）若l₁、l₂中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，
此时，|P₁P₂|=4，|P₃P₄|=|AB|=3，
于是

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

1

4

+

1

3

=

7

12

．…（5分）
若l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
设l₁的方程：y=k（x+1），则l₂的方程：y=-

1

k

(x+1)，
联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k (x+1)

消去x得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，
∴y1+y2=-

6k

3k2+4

，y1y2=-

9

3k2+4

，
∴|P3P4|=

1+k2

|y1-y2|=

1+k2

36k2 (3k2+4)2 + 36 3k2+4

=

12(k2+1)

3k2+4

．
同理可得：|P1P2|=

12(k2+1)

4k2+3

，
∴

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

4k2+3

12(k2+1)

+

3k2+4

12(k2+1)

=

7

12

．
∴综上知

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

（定值）．…（9分）
∵

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

≥2

1 |P1P2||P3P4|

，
∴|P1P2||P3P4|≥(

24

7

)2=

576

49

，
∴Smax=

1

2

|P1P2||P3P4|≥

288

49

．
当且仅当|P₁P₂|=|P₃P₄|，
即

12(k2+1)

4k2+3

=