Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③当x1，x2∈[0，1]且x1+x2∈[0，1]时，f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为“友谊函数”．给出下列命题：（1）“友谊函数”f（x）一定满足f（0）=0；（2）函数y=log2（x+1），y=2x-1，y=2x2-x在[0，1]上都是“友谊函数”；（3）“友谊函数”f（x）一定不是单调函数；（4）若f（x）为“友谊函数”，假设存在x0∈[0，1]使得f（x0）∈[0，1]且f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．其中正确的命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

解答：（1）∵f（x）是“友谊函数”，令x₁=x₂=0，则f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，又对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，
∴f（0）=0，即（1）正确；
（2）∵y=f（x）=log₂（x+1），
∴当x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]时，
假设f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
则log₂（x₁+x₂+1）≥log₂（x₁+1）+log₂（x₂+1）=log₂（x₁+1）（x₂+1），
∵y=log₂（x）为增函数，
∴x₁+x₂+1≥（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，
∴x₁x₂≤0，这是不可能的，
∴假设不成立，即函数y=log₂（x+1）在[0，1]不是“友谊函数”，故（2）错误；
（3）y=f（x）=2^x-1在[0，1]上是“友谊函数”，显然也是单调函数递增，故（3）错误；
下面给出证明：
∵当x≥0时，f（x）=2^x-1≥f（0）=2⁰-1=0，满足①；
f（1）=2¹-1=1，满足②；
当x₁，x₂∈[0，1]且x₁+x₂∈[0，1]时，
f（x₁+x₂）-f（x₁）-f（x₂）
=2x1+x2-1-（2x1-1）-（2x2-1）
=2x1+x2-2x1-2x2+1
=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），即③成立，
∴y=f（x）=2^x-1在[0，1]上是“友谊函数”．
（4）∵f（x）为“友谊函数”，依题意，任意给m，n∈[0，1]，
当m＜n时，必有n-m∈[0，1]，f（n-m）≥0，
∴f（n）=f[（n-m）+m]）≥f（n-m）+f（m）≥f（m），
又x₀∈[0，1]且f（x₀）∈[0，1]，f[f（x₀）]=x₀，
∴若1≥f（x₀）＞x₀≥0，则f[f（x₀）]≥f（x₀），即x₀≥f（x₀）与f（x₀）＞x₀矛盾；
若0≤f（x₀）＜x₀≤1，同理可得f（x₀）≥x₀，与f（x₀）＜x₀矛盾；
∴f（x₀）=x₀，即（4）正确．
综上所述，正确的命题的序号为（1），（4）．