Question

已知函数f（x）=ex-tx-1（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）设不等式f（x）＞-

已知函数f（x）=ex-tx-1（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）设不等式f（x）＞-2tx-1的解集为M，且集合{x|0＜x≤2}?M，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-tx-1，
∴f′（x）=e^x-t，
当t≤0时，有f′（x）＞0在R上恒成立；
当t＞0时，由f′（x）＞0可得x＞lnt．
综上可得，当t≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当t＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lnt，+∞）．
（2）由不等式f（x）＞-2tx-1即e^x+tx＞0的解集为M，且{x|0＜x≤2}?M，可知，
对于任意x∈（0，2]，不等式e^x+tx＞0即t＞?

ex

x

恒成立． 
令g(x)＝?

ex

x

，∴g′(x)＝

(1?x)ex

x2

． 
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．
∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．
∴函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=-e，
即为在x∈（0，2]上的最大值．
∴实数t的取值范围是（-e，+∞）．