Question

2014的2015次方除以7余数是几？小学奥数题

Answer 1

先铺垫一个求余数的方法：

【两数相乘÷a的余数相当于这两个数分别÷a的余数乘积再÷a的余数。】
证明：
设b=m×a+b1、c=n×a+c1
那么
b×c
=(m×a+b1)(n×a+c1)
=m×n×a×a+n×a×b1+m×a×c1+b1×c1
于是，
(b×c)÷a的余数相当于(m×n×a×a+n×a×b1+m×a×c1+b1×c1)÷a的于是，
实际上就是(b1×c1)÷a的余数。

回到问题，
2014÷7=287……5
从而，2015个2014的乘积÷7的余数相当于2015个5的乘积÷7的余数，
既然是小学奥数题，那么用找规律，
5的1次方÷7……1
5的2次方÷7……4
5的3次方÷7……6
5的4次方÷7……2
5的5次方÷7……3
5的6次方÷7……1
5的7次方÷7……4
5的8次方÷7……6
5的9次方÷7……2
……
容易看出，这个是周期问题，周期=5，每个周期是1、4、6、2、3
而2015÷5没有余数，
因而，第2015个数的余数就是周期最后一个了，
那么结果就是3了。

实际上，强行找规律也不难。
2014的1次方÷7……1
2014的2次方÷7……4
2014的3次方÷7……6
2014的4次方÷7……2
2014的5次方÷7……3
2014的6次方÷7……1
2014的7次方÷7……4
2014的8次方÷7……6
2014的9次方÷7……2
……

【经济数学团队为你解答！】

Answer 2

经验证两位数除以7余3，三位数不能使用叠数法，四位数必须除以7余5，五位数除以7余6，方可使用叠数法。

Answer 3

2014除以7余-2，（-2）^2015＝4×（-2）^2013＝4×（-8）^671＝＝>4×（-1） （mod7）-4＝＝>3（mod7）

追答

这个方法有意思

想了一下，才想通为什么提取的是3次幕，周期却是6。因为是负数，奇次幕与偶次幕的结果是不一样的。