Question

已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2-2an，求数列anSn的前n项和Tn

Answer 1

S1=a1=2-2a1，则a1=2/3。
n>=2时，Sn-S(n-1)=an=(2-2an)-[2-2a(n-1)]=-2an+2a(n-1)
则an=(2/3)a(n-1)。
所以，数列{an}是首项和公比都为2/3的等比数列，an=(2/3)^n。
Sn=2-an=2-2*(2/3)^n
Tn=[2-2*(2/3)]+[2-2*(2/3)^2]+…+[2-2*(2/3)^n]
=2n-2[(2/3)+(2/3)^2+…+(2/3)^n]
=2n-2*(2/3)[1-(2/3)^n]/(1-2/3)
=2n-4+4*(2/3)^n

追问

数列anSn、这么感觉好像只有Sn的前项和、、而且它是等比数列么？为什么药用等比数列的公式

追答

anSn=2an-2(an)^2=2*(2/3)^n-2*(4/9)^n
Tn=2[(2/3)+(2/3)^2+…+(2/3)^n]-2[(4/9)+(4/9)^2+…+(4/9)^n]
=2*(2/3)[1-(2/3)^n]/(1-2/3)-2*(4/9)[1-(4/9)^n]/(1-4/9)
=4-4*(2/3)^n-8/5+(8/5)*(4/9)^n
=12/5-4*(2/3)^n+(8/5)*(4/9)^n