Question

已知函数f(x)=alnx+1/2x^2+x.

求(1)f(x)的单调区间 （2）函数g(x)=2/3x^3+x-1/6 (x>0), 求：a=1时，f(x)的图像都不在g(x)上方

Answer 1

f'(x)=a/x+x+1=(x²+x+a)/x (x>0)

令h(x)=x²+x+a,其对称轴为x=-1/2,h(0)=a
∴当a≥0时，h(x)>0,f'(x)=h(x)/x>0
f(x)的递增区间（0，+∞）
当a<0时，由f'(x)>0即h(x)>0
x>0, x²+x+a>0 ==> x>[-1+√(1-4a)]/2
x>0, x²+x+a<0 ==>0< x<[-1+√(1-4a)]/2
∴f(x)递增区间为（[-1+√(1-4a)]/2，+∞）
递减区间为（0，[-1+√(1-4a)]/2）
2
a=1, f(x)=lnx+1/2x^2+x
k(x)=g(x)-f(x)=2/3x^3-1/6 -lnx-1/2x^2
k'(x)=2x^2-x-1/x=(2x^3-x^2-1)/x
=(x-1)(2x²+1)/x
0<x<1时，k'(x)<0,k(x)递减
x>1时，k'(x)>0，k(x)递增
∴x=1时，k(x)取得最小值
k(x)min=k(1)=2/3-1/6-0-1/2=0
∴k(x)≥0
即f(x)≤g(x) 恒成立
∴f(x)的图像都不在g(x)上方