Question

如图，直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ A ＝90°， AB ＝ AD ＝6， DE ⊥ DC 交 AB 于 E ， DF 平分∠

如图，直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ A ＝90°， AB ＝ AD ＝6， DE ⊥ DC 交 AB 于 E ， DF 平分∠ EDC 交 BC 于 F ，连接 EF ． （1） 证明： EF ＝ CF ；(2) 当 AE ＝2时，求 EF 的长．

Answer 1

（1）见解析, （2） EF = 5

解：(1) 如图，过D作DG⊥BC于G 由已知可得四边形 ABGD 为正方形 ∵ DE ⊥ DC ∴∠ ADE ＋∠ EDG ＝90°＝∠ GDC ＋∠ EDG ∴∠ ADE ＝∠ GDC 在△ ADE 与△ GDC 中 ， ∴△ ADE ≌△ GDC  (ASA) ···························· 3分 ∴ DE ＝ DC 且 AE ＝ GC 在△ EDF 和△ CDF 中 ∴△ EDF ≌△ CDF （SAS）··························· ·6分 ∴ EF ＝ CF ··································· 7分 (2) ∵ AE ＝2 设 EF ＝ x ，则 BF ＝8－ CF ＝8－ x ， BE ＝4 由勾股定理 x 2 ＝ ＋4 2 解得   ∴ EF = 5    12分 (1)过D作DG⊥BC于G，可得四边形 ABGD 为正方形，求得△ ADE ≌△ GDC  (ASA)，△ EDF ≌△ CDF （SAS），从而得出结论 (2)利用勾股定理求解