(1)如图1,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.求证:AE⊥PD
(1)如图1,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.求证:AE⊥PD.(2)如图2,正方形ADEF与梯形ABC...
(1)如图1,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.求证:AE⊥PD.(2)如图2,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4.求证:平面BDE⊥平面BEC.
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(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC为正三角形.
∵E为BC的中点,∴AE⊥BC
又BC∥AD,∴AE⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
∴PA⊥AE,
又PA?平面PAD,AD?平面PAD,
且PA∩AD=A,
∴AE⊥平面PAD
又PD?平面PAD,∴AE⊥PD.
(2)证明:∵四边形ADEF为正方形,∴ED⊥AD.
又∵平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED?平面ADEF,
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2
.
在△BCD中,BD=BC=2
,CD=4,
根据勾股定理得BC⊥BD
又BD∩ED=D,
∴BC⊥平面BDE
又∵BC?平面BEC,
∴平面BDE⊥平面BEC
∴△ABC为正三角形.
∵E为BC的中点,∴AE⊥BC
又BC∥AD,∴AE⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
∴PA⊥AE,
又PA?平面PAD,AD?平面PAD,
且PA∩AD=A,
∴AE⊥平面PAD
又PD?平面PAD,∴AE⊥PD.
(2)证明:∵四边形ADEF为正方形,∴ED⊥AD.
又∵平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED?平面ADEF,
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2
2 |
在△BCD中,BD=BC=2
2 |
根据勾股定理得BC⊥BD
又BD∩ED=D,
∴BC⊥平面BDE
又∵BC?平面BEC,
∴平面BDE⊥平面BEC
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