Question

（2014?从化市一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的

（2014?从化市一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AC、CB于D、E两点．如图1、2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．（1）如图1，三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，求证：PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图2，PD=PE还成立吗？并证明你结论．（2）如图2，三角板绕点P旋转，当△PEB成为等腰三角形时，求CE的长．

Answer 1

（1）∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中点，
∴∠A=∠B=45°，AP=PB，
∵PD⊥AC，PD⊥PE
∵∠ADP=∠PEB=90°，
在△ADP和△PEB中，

∠A＝∠B ∠ADP＝∠PEB AP＝BP

，
∴△ADP≌△PEB（AAS），
∴PD=PE．     
当PD与AC不垂直时PD=PE依然成立．
证明：连接PC，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
在△PCD和△PBE中，

∠DCP＝∠B ∠DPC＝∠BPE PC＝PB

∴△PCD≌△PBE（ASA），
∴PD=PE．
（2）分三种情况讨论如下：
①当PE=PB，点C与点E重合，即CE=0；
②当PE=BE时，CE=1，
③当BE=PB时，CE=2?

2

．